线性代数笔记 01

1，向量（Vector）

• vector就是一组数字，有两种，一种是row vector，一种是column vector。一般而言，我们没有特殊声明，说一个vector就是一个column vector。

\(row \quad vector:\begin{vmatrix}{a_{1}}&{a_{2}}&{\cdots}&{a_{n}}\end{vmatrix}\) \(column \quad vector:\begin{vmatrix}{a_{1}}\\\\{a_{2}}\\\\{\vdots}\\\\{a_{n}}\end{vmatrix}\)

2, 向量空间（Spaces of Vectors）

• 空间表示有很多向量，一整个空间的向量，但并不是任意向量的组合，能称为空间的，空间本身必须满足一定的规则。必须能够进行加法和数乘运算，也就是说，必须能够线性组合。

• 二维向量空间

  \( R^2 \) = All 2 dimensional real vectors. \(v=\begin{vmatrix}{x_{1}}\\\\{x_{2}}\end{vmatrix}\) \((x_1 , x_2\in R)\)

  由上面的公式不难理解\( R^2 \)就是整个二维平面，那么就不难理解\( R^3 \)就包含了整个三维空间的所有向量。

  \( R^n \) = all column vectors with n real components.

3, 向量的性质（Properties of Vector）

对于向量 u, v 和 w 都属于 \( R^n \), 任意标量 a和 b 则有以下性质

• 交换性 (commutativity)：
  • \( u + v = v + u \)
• 结合性 (associativity)：
  • \( (u + v) + w = u + (v + w) \)
• 加法单位元 (additive identity)：
  • \( 𝟎 + u = u \)
• 加法逆元素 (additive inverse)：
  • \( u’ + u = 0 \)
• 乘法单位元 (multiplicative identity)：
  • \( 1u = u \)
• 分配性 (distributivity)：
  • \( a(u+v) = au + av \)
  • \( (ab)u = a(bu) \)
  • \( (a+b)u = au + bu \)

4, 矩阵（Matrix）

matrix就是一个vector set。一般我们用大写加粗字母表示，比如M。每一个元素用相同字母带上下标表示，比如\( m_{ij}\)，其中i表示第i行，j表示第j列。同样处于方便，很多时候直接用大写的字母表示矩阵。我们会叫一个行列相同的矩阵是方阵（square matrix）。

5, 特殊矩阵

• 零矩阵（Zero Matrix）

  零矩阵即所有元素皆为0的矩阵

• 单位矩阵（Identity matrix）: must be square

  行列必须相等，对角线全部为1，其余entities都是0

6, 矩阵的性质（Properties of Matrix）

对于A, B, C 是 mxn 的矩阵, 并且 s 和 t 是任意标量

• 交换性 (commutativity)：
  • \( A + B = B + A \)
• 结合性 (associativity)：
  • \( (A + B) + C = A + (B + C) \)
  • \( (st)A = s(tA) \)
  • \( s(A + B) = sA + sB \)
• 分配性 (distributivity)：
  • \( (s+t)A = sA + tA \) t

    7，矩阵的转置（Transpose）

将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作\( A^T \)或\( A’ \)

例 \(A \quad = \quad \begin{vmatrix} {1}&{0}&{3}&{-1}\\\\ {2}&{1}&{0}&{2}\\\\ \end{vmatrix}\)

的专职矩阵为

运算性质（假设所有运算都是可行的）

• \( (A’)’ = A \)
• \( (A+B)’ = A’ + B’ \)
• \( (AB)’ = A’B’ \)
• \( (\lambda A)’ = \lambda A’ \quad \lambda 是常数\)